أبو يزيد
10-11-2005, 10:37 PM
نظرية الزمر
نظرية الزمر من أهمّ فروع الرياضيات الحديثة, إكتشفها الموهوب الفرنسي إفاريست غالوا قبل وفاته في سنة 1832 م (1247 ه) ولم يبلغ عمره 22 سنين, ويُستعمل أيضا في كثير فروع العلوم, منهم الكيمياء والفيزياء الذرية, خاصة في ما يتعلق بإيجاد التماثل.
الزمرة (group, groupe) هي مجموعة من العناصر عرفت عليها عملية ثنائية (*) اللتي تحقق الشروط التالي:
المجموعة مُغلق (closed, stable) حسب هذه العملية, أي كلما كان أ, ب من عناصر الزمرة, فكان أ*ب من عناصرها.
العملية تجميعي (associative), أي (أ*ب)*ج = أ*(ب*ج) دائما.
يوجد في المجموعة عنصر محايد (identity, neutre), نحن نسمّيه و, وهذا يعني أن كلما كان أ في الزمرة, أ*و = و*أ = أ.
يوجد لكل عنصر نظير (inverse), أي كلما كان أ في الزمرة, يوجد عنصر ب في الزمرة ذو أ*ب = ب*أ = و. وعاديا نكتب ب=أ-1 أو ب = -و.
نرى مثلا أن مجموعة الأعداد الصحيحة (... , -1, 0, 1، 2, 3, ...) تحت عملية الجمع هي زمرة (تسمّى Z+ بالإنكليزية):
إذا كان أ و ب عددين صحيحين, فكان أ+ب عدد صحيح.
(أ+ب)+ج = أ+(ب+ج)
أ+0 = 0+أ = أ
أ+(-أ) = (-أ)+أ = 0
وكذالك الأعداد الزوجية تحت +:
إذا كان أ و ب عددين زوجيين, فكان أ+ب عدد زوجي (لأن 2أ+2ب = 2(أ+ب).)
(أ+ب)+ج = أ+(ب+ج)
أ+0 = 0+أ = أ (و 0 عدد زوجي.)
أ+(-أ) = (-أ)+أ = 0 (وإذا كان أ عدد زوجي, فكان -أ عدد زوجي: -(2أ)=2(-أ).)
وإذا وجدنا داخل زمرة زمرة أصغر تحت نفس العملية, مثل الأعداد الزوجية في زمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع هنا, نسميها زمرة جزئية (subgroup, sous-groupe).
لكن الأعداد الفردية تحت + ليست زمرة:
إذا كان أ و ب عددين فرديين, فكان أ+ب عدد زوجي (مثلا 1+3=4.)
0 ليس عدد فردي.
والأعداد الموجبة تحت + أيضا ليست زمرة:
إذا كان أ موجب, و أ+ب = 0, فلا يمكن أن يكون ب موجب.
وكذالك الأعداد الصحيحة تحت عملية النقص ليست زمرة:
أ-(ب-ج) = أ-ب+ج ولا يساوي (أ-ب)-ج. (مثلا 5-(4-3)=5-1=4, و(5-4)-3 = 1-3 = -2.)
مثال أخرى هو الأوقات تحت عملية الجمع. (وبهذا أعني, مثلا, أن على ساعة 5:00 + 8:00 = 1:00, لأن الساعة تعود إلى نفس الساعة بعد 12 ساعات. وإذا شككت فجرّب(ي) على ساعتك!) ونرى أن هذه زمرة أيضا:
إذا كان أ و ب وقتين, فكان أ+ب وقت.
(أ+ب)+ج = أ+(ب+ج)
أ+00:00 = 00:00+أ = أ (و 00:00 = 12:00 = 24:00 = ...)
أ+(12:00-أ) = (12:00-أ)+أ = 0
وإذا نظرنا إلى الساعات 12:00, 1:00, 2:00, ..., 11:00 فقط, فنجد زمرة جزئية عدد عناصرها 12 فقط.
كل الزمر التي ذكرناها هي زمر تبديلية (commutative) أي آبيلية (Abelian, abélien), وبهذا نعني أن أ*ب = ب*أ دائما. لكن هناك زمر كثيرة غير تبديلية. ولنجد إحداهم, نفكّر عن طرق تبديل 3 أشياء مختلفة, نسميهم هنا ف, ع, ل. لتذكر تبديل, يكفي أن تذكر أن ف ينتقل إلى مكان, و ع إلى مكان ثاني, ول إلى الثالث: مثلا (ف>ع, ع>ف, ل>ل). وإذا تبدّلنت ترتيب هذه العناصر بالترتيب ث=(ف>أ, ع>ب, ل>ج) , ثم تبدّلنت ترتيبها مرة ثانية بالترتيب خ=(أ>س, ب>ش, ج>ص), فالنتيجة تكون ث*خ=(ف>س, ع>ش, ل>ص). وهذه التبديلات الستة هي زمرة:
إذا تبدّلنا ترتيب هذه العناصر الثلاثة, ثم تبدّلنت ترتيبها مرة ثانية, فالنتيجة هي ترتيب أخرى لهذه العناصر.
(أ*ب)*ج = أ*(ب*ج), لأن إذا نظرنا إلى عنصر واحد أ(س)=ش و ب(ش)=ص و ج(ص)=ض, ((أ*ب)*ج)س = (((س>ش)>ص)>ض)س = ((س>ص)>ض)س = ((س>ض)س = ض, و (أ*(ب*ج))س = ((س>ش)*((ش>ص)>ض))س = ((س>ش)*(ش>ض))س = (س>ض)س = ض.
التبديل (ف>ف, ع>ع, ل>ل) يترك كل شيء في مكانه.
(ف>أ, ع>ب, ل>ج)*(أ>ف, ب>ع, ج>ل) = (أ>ف, ب>ع, ج>ل)*(ف>أ, ع>ب, ل>ج) = (ف>ف, ع>ع, ل>ل)
لكن (ف>ع, ع>ف, ل>ل)*(ف>ف, ع>ل, ل>ع) = (ف>ل, ع>ف, ل>ع), و (ف>ف, ع>ل, ل>ع)*(ف>ع, ع>ف, ل>ل) = (ف>ع, ع>ل, ل>ف), فالزمرة ليست آبيلية.
هناك طريقة أخرى لكتابة التبديلات: نبدأ بالفاء مثلا, ونظع بعده العنصر الذي ينتقل إليه الفاء, ثم العنصر الذي ينتقل إليه العنصر المذكور, ... حتى نعود إلى ف, فنكتب كل ذلك بين قوسين, وإذا وجدنا عنصرا خارج القوسين يتغير فنفعل نفس العملية لمرة أخرى. مثلا في مكان (ف>ع, ع>ف, ل>ل) نكتب (ف ع), وفي مكان (أ>ج, ب>د, ج>ب, د>أ, ه>و, و>ه) نكتب (أ ب ج د) (ه و).
من مذكرتي الرياضية
نظرية الزمر من أهمّ فروع الرياضيات الحديثة, إكتشفها الموهوب الفرنسي إفاريست غالوا قبل وفاته في سنة 1832 م (1247 ه) ولم يبلغ عمره 22 سنين, ويُستعمل أيضا في كثير فروع العلوم, منهم الكيمياء والفيزياء الذرية, خاصة في ما يتعلق بإيجاد التماثل.
الزمرة (group, groupe) هي مجموعة من العناصر عرفت عليها عملية ثنائية (*) اللتي تحقق الشروط التالي:
المجموعة مُغلق (closed, stable) حسب هذه العملية, أي كلما كان أ, ب من عناصر الزمرة, فكان أ*ب من عناصرها.
العملية تجميعي (associative), أي (أ*ب)*ج = أ*(ب*ج) دائما.
يوجد في المجموعة عنصر محايد (identity, neutre), نحن نسمّيه و, وهذا يعني أن كلما كان أ في الزمرة, أ*و = و*أ = أ.
يوجد لكل عنصر نظير (inverse), أي كلما كان أ في الزمرة, يوجد عنصر ب في الزمرة ذو أ*ب = ب*أ = و. وعاديا نكتب ب=أ-1 أو ب = -و.
نرى مثلا أن مجموعة الأعداد الصحيحة (... , -1, 0, 1، 2, 3, ...) تحت عملية الجمع هي زمرة (تسمّى Z+ بالإنكليزية):
إذا كان أ و ب عددين صحيحين, فكان أ+ب عدد صحيح.
(أ+ب)+ج = أ+(ب+ج)
أ+0 = 0+أ = أ
أ+(-أ) = (-أ)+أ = 0
وكذالك الأعداد الزوجية تحت +:
إذا كان أ و ب عددين زوجيين, فكان أ+ب عدد زوجي (لأن 2أ+2ب = 2(أ+ب).)
(أ+ب)+ج = أ+(ب+ج)
أ+0 = 0+أ = أ (و 0 عدد زوجي.)
أ+(-أ) = (-أ)+أ = 0 (وإذا كان أ عدد زوجي, فكان -أ عدد زوجي: -(2أ)=2(-أ).)
وإذا وجدنا داخل زمرة زمرة أصغر تحت نفس العملية, مثل الأعداد الزوجية في زمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع هنا, نسميها زمرة جزئية (subgroup, sous-groupe).
لكن الأعداد الفردية تحت + ليست زمرة:
إذا كان أ و ب عددين فرديين, فكان أ+ب عدد زوجي (مثلا 1+3=4.)
0 ليس عدد فردي.
والأعداد الموجبة تحت + أيضا ليست زمرة:
إذا كان أ موجب, و أ+ب = 0, فلا يمكن أن يكون ب موجب.
وكذالك الأعداد الصحيحة تحت عملية النقص ليست زمرة:
أ-(ب-ج) = أ-ب+ج ولا يساوي (أ-ب)-ج. (مثلا 5-(4-3)=5-1=4, و(5-4)-3 = 1-3 = -2.)
مثال أخرى هو الأوقات تحت عملية الجمع. (وبهذا أعني, مثلا, أن على ساعة 5:00 + 8:00 = 1:00, لأن الساعة تعود إلى نفس الساعة بعد 12 ساعات. وإذا شككت فجرّب(ي) على ساعتك!) ونرى أن هذه زمرة أيضا:
إذا كان أ و ب وقتين, فكان أ+ب وقت.
(أ+ب)+ج = أ+(ب+ج)
أ+00:00 = 00:00+أ = أ (و 00:00 = 12:00 = 24:00 = ...)
أ+(12:00-أ) = (12:00-أ)+أ = 0
وإذا نظرنا إلى الساعات 12:00, 1:00, 2:00, ..., 11:00 فقط, فنجد زمرة جزئية عدد عناصرها 12 فقط.
كل الزمر التي ذكرناها هي زمر تبديلية (commutative) أي آبيلية (Abelian, abélien), وبهذا نعني أن أ*ب = ب*أ دائما. لكن هناك زمر كثيرة غير تبديلية. ولنجد إحداهم, نفكّر عن طرق تبديل 3 أشياء مختلفة, نسميهم هنا ف, ع, ل. لتذكر تبديل, يكفي أن تذكر أن ف ينتقل إلى مكان, و ع إلى مكان ثاني, ول إلى الثالث: مثلا (ف>ع, ع>ف, ل>ل). وإذا تبدّلنت ترتيب هذه العناصر بالترتيب ث=(ف>أ, ع>ب, ل>ج) , ثم تبدّلنت ترتيبها مرة ثانية بالترتيب خ=(أ>س, ب>ش, ج>ص), فالنتيجة تكون ث*خ=(ف>س, ع>ش, ل>ص). وهذه التبديلات الستة هي زمرة:
إذا تبدّلنا ترتيب هذه العناصر الثلاثة, ثم تبدّلنت ترتيبها مرة ثانية, فالنتيجة هي ترتيب أخرى لهذه العناصر.
(أ*ب)*ج = أ*(ب*ج), لأن إذا نظرنا إلى عنصر واحد أ(س)=ش و ب(ش)=ص و ج(ص)=ض, ((أ*ب)*ج)س = (((س>ش)>ص)>ض)س = ((س>ص)>ض)س = ((س>ض)س = ض, و (أ*(ب*ج))س = ((س>ش)*((ش>ص)>ض))س = ((س>ش)*(ش>ض))س = (س>ض)س = ض.
التبديل (ف>ف, ع>ع, ل>ل) يترك كل شيء في مكانه.
(ف>أ, ع>ب, ل>ج)*(أ>ف, ب>ع, ج>ل) = (أ>ف, ب>ع, ج>ل)*(ف>أ, ع>ب, ل>ج) = (ف>ف, ع>ع, ل>ل)
لكن (ف>ع, ع>ف, ل>ل)*(ف>ف, ع>ل, ل>ع) = (ف>ل, ع>ف, ل>ع), و (ف>ف, ع>ل, ل>ع)*(ف>ع, ع>ف, ل>ل) = (ف>ع, ع>ل, ل>ف), فالزمرة ليست آبيلية.
هناك طريقة أخرى لكتابة التبديلات: نبدأ بالفاء مثلا, ونظع بعده العنصر الذي ينتقل إليه الفاء, ثم العنصر الذي ينتقل إليه العنصر المذكور, ... حتى نعود إلى ف, فنكتب كل ذلك بين قوسين, وإذا وجدنا عنصرا خارج القوسين يتغير فنفعل نفس العملية لمرة أخرى. مثلا في مكان (ف>ع, ع>ف, ل>ل) نكتب (ف ع), وفي مكان (أ>ج, ب>د, ج>ب, د>أ, ه>و, و>ه) نكتب (أ ب ج د) (ه و).
من مذكرتي الرياضية