المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : أثبت أن

أبو خالد
05-04-2006, 01:02 AM
إذا كان : ب1 × ب2 × ب3 × ...×ب ن = 1


أثبت أن :

(ب1+2) (ب2+2) ......(ب ن +2) >= 3^ن
رَوَائـِــع قلم
05-04-2006, 07:04 PM
بالمساواة الثانية

كل قوس به متغير وبه عدد فهل العدد مضروب بالمتغير أم أسٌّ له
أبو خالد
05-04-2006, 08:26 PM
أكتب السؤال مرة أخري :

إذا كان : باء واحد × باء اثنين × باء ثلاثة × ..... = 1

أثبت أن : ( باء واحد +2) ( باء اثنين +2) .... ( باء نون +2) أكبر من أو يساوي ثلاثة أس نون

ملاحظة : متعارف على أن الرمز ^ يعني أس
رَوَائـِــع قلم
05-04-2006, 08:59 PM
تحل بالإستنتاج الرياضي

ولحظات للإلاء بالحل كاملا بإذن الله بعد التجريب بالطريقة الآنفة الذكر
رَوَائـِــع قلم
05-04-2006, 09:40 PM
1- نفرض بأن ن=ا
وبالتعويض بالمساواة الأولى يكون ب1=ا
وبالتعويض بالمساواة الثانية بطرفيها ينتج التالي
طرف الأيمن سيكون بعد التعويض = ب1+2=1+2=3
والطرف الأيسر 3^ن=3^1=3
وبالتالي سيكون الطرفان متساويان وهذا يؤدي إلى أن الفرض صحيح

2-نفرض أن االتعويض بــــ ن+1 سيكون صحيحا
أي أن (ب1+2)(ب2+2).......(ب (ن+1)+2)=3^(ن+1)
سيكون فرضا صحيحا على إعتبار أن إذا كان : ب1 × ب2 × ب3 × ...×ب (ن+1)= 1 ــــــــــــــــــــ(أ

3- نستخدم الفرض السابق لإثبات أن المساوة المراد إثباتها ستكون صحيحه عندما ن+2 على إعتبار أن الفرض بالخطوة الثانية صحيحا و أن إذا كان : ب1 × ب2 × ب3 × ...×(ب ن+2) = 1 ـــــــــــــــــــــ(ب

أي أننا سنثبت صحة المساوة المراد إثباتها عندما ن تكون مساوية لــ ن+2 بإستخدام الفرض الذي بالخطوة الثانية

أي نثبت
(ب1+2)(ب2+2).......(ب (ن+2)+2)=3^(ن+2)

هذه المساواة الأخيرة المراد إثبات صحة طرفيها بإستخدام الخطوة الفرض رقم 2
الطرف الأيمن=(ب1+2)(ب2+2).......(ب (ن+2)+2)
=(ب1+2)(ب2+2).......(ب(ن+1)+2)(ب (ن+2)+2)
=3^(ن+1) (ب (ن+2)+2) ـــــــــــــــــــــ بإستخدام الفرض بالخطوة (2
=3^(ن+1) (1+2) لأن ب(ن+2)=1 وهذا نتج من الخطوتين أ و ب
=3^(ن+1) (3)
= (3^ن)(3)(3)=(3^ن)(3^2)
والطرف الأيسر بالمساوة الأصلية المراد إثباتها
=3^(ن+2)
= (3^ن)(3^2)=الطرف الأيمن
وبهذا أثبتنا صحة المساواة عندما ن= ن+2

ومن الخطوة الثلاث السابقة ينتج أن
إذا كان : ب1 × ب2 × ب3 × ...×ب ن = 1


فإن

(ب1+2) (ب2+2) ......(ب ن +2) >= 3^ن
أبو خالد
05-05-2006, 03:51 PM
جيد

أنا أثبتها بطريقة أخرى وان شاء الله أعرضها

بس إذا سمحت لي ودي أناقشك في بعض الخطوات



3- نستخدم الفرض السابق لإثبات أن المساوة المراد إثباتها ستكون صحيحه عندما ن+2 على إعتبار أن الفرض بالخطوة الثانية صحيحا و أن إذا كان : ب1 × ب2 × ب3 × ...×(ب ن+2) = 1 ـــــــــــــــــــــ(ب



في الخطوة رقم 3) أنت فرضت أن ب1 × ب2 × ب3 × ...×(ب ن+2) = 1

أليس هذا فرض أيضا والواجب أن تثبت باستخدام الفرض في الخطوة رقم 2)

بمعنى إنك فرضت فرضين ...
رَوَائـِــع قلم
05-05-2006, 04:33 PM
إذا كان : ب1 × ب2 × ب3 × ...×ب ن = 1


أثبت أن :

(ب1+2) (ب2+2) ......(ب ن +2) >= 3^ن



هذه كانت المسألة من بدايتها

لها طرفين الطرف الأول ب1 × ب2 × ب3 × ...×ب ن = 1

ولايحتاج لإثبات صحته بل هو معطى نستعين به بالإثبات

وعليه في كل خطوة من خطوات الحل سيكون الشق المناظر له معطىً أيضا

والمراد إثبات الشق الثاني والذي هو

(ب1+2) (ب2+2) ......(ب ن +2) >= 3^ن

وكل مساواة مناظرة لها
أبو خالد
05-05-2006, 05:36 PM
أستاذ روائع القلم

المناقشة هي أسلوبنا هنا ... آمل ألا تفهما شئ آخر ... فهي للفائدة ليس إلا

أنتظر رأي الاعضاء في الحل

وسوف أعرض طريقة أخرى للحل إذا سمحت لي ...

تحيتي أستاذ روائع قلم ...
رَوَائـِــع قلم
05-05-2006, 05:43 PM
أخي العزيز ومشرفنا فيثاغورث

أنا لم آتي هنا إلا لأجل هذا القسم

للمناقشة ولا لغيرها أريد

فبها تتفتح آفاق

ويسترجع ماتم نسيانه مع الزمن

من تراكمات هذا العلم

ولتكون الفائدة أعم وأرجى

تحياتي لك أخي العزيز
أبو خالد
05-06-2006, 09:58 PM
طيب يأخوان

سأضع إرشاد لطريقة أخرى ورائعة ( لا تفوتكم ) لحل هذا السؤال :

الوسط الحسابي >= الوسط الهندسي
سهم
05-06-2006, 10:58 PM
اخ روائع بالاستقراء لايثبت المعطى ارجو اعادة النظر في حلك واذا لم تتمكن سوف اعرض الحل
الاخ فيثاغورث فكرة الوسطين فكرة جميلة
تأملات
05-08-2006, 08:42 AM
يلا ورونا الحل
<< بس تاخذ الحل جاهز :(


ننتظركم
أبو خالد
05-08-2006, 06:44 PM
الحل باستخدم متباينة الاوساط:

الوسط الحسابي >= الوسط الهندسي

أي أن : لثلاثة أعداد -------> (س1+س2+س3)/3 >= الجذر الثالث لـ ( س1 × س2 × س3)

أولاً : نفرض أن : س1=ب1 ، س2=1 ، س3=1

الان بتطبيق المتباينة أعلاه : (ب1 + 1 + 1 )/3 >= الجذر الثالث لـ( ب1 × 1 ×1 )

-------> (ب1 +2 ) >= 3 × الجذر الثالث لـ(ب1) -----------(1)

ثانيا : نفرض أن : س1=ب2 ، س2=1 ، س3=1

بتطبيق المتباينة ينتج أن :(ب2+2 ) >= 3 × الجذر الثالث لـ(ب2) -----------------(2)


وهكذا :

الى :نفرض أن : س1=ب ن ، س2=1 ، س3=1

-----------> (ب ن +2) >= 3 × الجذر الثالث لـ( ب ن ) ------------------( ن )

بضرب المتباينات 1 ، 2 ، .....ن ينتتج:

(ب1 +2 ) ( ب2 +2 ) ....( ب ن + 2) >= 3 × 3×...×3 × الجذر الثالث لـ(ب1×ب2×...×ب ن)

----->
(ب1 +2 ) ( ب2 +2 ) ....( ب ن + 2)>= 3^ن ×1 ،معطى(ب1 × ب2 × ب3 × ...×ب ن = 1)


----->(ب1 +2 ) ( ب2 +2 ) ....( ب ن + 2)>= 3^ن

وهو المطلوب إثباته
hanifimaths
05-08-2006, 08:22 PM
رائع يا أستاذ فيتاغورث
سهم
05-09-2006, 06:32 PM
جيد اخ فيثاغورث بس ليش مش بخطوة واحدة نحله
بما ان وح>= وهـ ينتج ان
( (ب1+2)........+(ب ك+2)/ك>= ( (ب1+2)*......*(ب ك+2))^(1/ك) ينتج ان
(ب1+ب2+....+ب ك)/ك +2 >= ((ب1+2)*.....* (بك+2))^(1/ك)
لكن _ب1+....+ب ك)/ك>= ب1*....*ب ك=1
اذن (ب1+....+ب ك)/ك +2 >=3
اذن ((ب1+2)*....*(ب ك+2))^(1/ك)>=3
اذن (ب1+2)*....*(ب ك+2)>= 3^ك

اما بالاستقراء
افرض ن=1 يتضمن (ب1+2)>=3
افرض ن=ك صحيحة اذن (ب1+2)*...*(ب ك+2)>=3^ك
المطلوب اثبات ان تكون صحيحة عند ن=ك+1
(ب1+2)*.....(ب ك+2)(ب ك+1 +2) >= (ب ك+1 +2) 3^ك ولكن (ب ك+1 +2)>=3 اذن الطرف الايمن >=3^(ك+1)