إضافة رد
كاتب الموضوع
waelalghamdi مشرف سابق
تم تعديل المحتوى
www.yzeeed.com
*::* هنا أسئلة وحلول أولمبياد الرياضيات بجامعة البترول *::*

بسم الله الرحمن الرحيم

نظرًا إلى قرب موعد امتحان أولمبياد الرياضيات الخامس بجامعة البترول والمعادن، ونظرًا إلى أن بعض أسئلة الأولمبياد للسنوات الفائتة غير مجابة لا في موقع المسابقة ولا في أي من المنتديات، سأضع بين يديكم -إن شاء الله- ما أستطيع إجابته من أسئلة السنوات الفائتة للفائدة والمناقشة.

كخطوة أولى، سأضع إجابات أسئلة المرحلة الثانية لأنها أكثر صعوبة، وإن توفر الوقت الكافي فسأحاول وضع حلول المرحلة الأولى -إن شاء الله-


تحياتي ،،،


شارك هذا الموضوع
تعليق 2
Transistor عضو معتزل
www.yzeeed.com

الله يجزاك خير أخي وائل ويجعل ذلك في موازين حسناتك : )

متابعين لروائعك مشرفنا الفاضل

تعليق 3
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com


الغرض من الموضوع هو المشاركة والنقاش وتوضيح النقاط الغامضة في الإجابات وإثراء الموضوع بحلول أخرى من الأعضاء. في الغالب ستكون الحلول من عملي وسأشير إلى مصدر الحل لو كان من مصدر آخر لحفظ الحقوق.

نبدأ باسم الله :

"الاختبار التجريبي، المرحلة الثانية"

(
في المرفقات تجدون نسخة من الأسئلة)

السؤال الأول: أثبت أن

الحل: سنثبتها بالاستقراء الرياضي. عندما n=1 لدينا . الآن لنفترض أن العبارة صحيحة عند n = k حيث k عدد صحيح أكبر من أو يساوي 1 ، أي لنفترض أن



الآن لنثبت أن العبارة صحيحة عندما n=k+1 :



إذن العبارة صحيحة عندما n=k+1 وبالتالي فهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب n .


السؤال الثاني : السؤال واضح في المرفقات والإجابة واضحة :
عدد المكعبات التي لها 3 أوجه خضر = 8
عدد المكعبات التي لها وجهان خضراوان = 24
عدد المكعبات التي لها وجه أخضر واحد = 24
عدد المكعبات التي ليس لها أي وجه أخضر = 8


السؤال الثالث:
‫النقاط المنصفة لأي رباعي تكون متوازى أضلاع . أثبت العبارة اذا كانت صحيحة أو أعط مثالًا إذا كانت غير صحيحة .‬


الحل: العبارة صحيحة. لنأخذ أي شكل رباعي ABCD ولنرسم أحد قطريه، وليكن BD ووصل النقاط المنصفة للأضلاع AB و AD وكذلك CB و CD كما في الشكل أدناه :



الآن من نظرية تعلمناها قديمًا (أظن أنها من نواتج نظرية طالس) يكون :

"
القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث وطولها يساوي نصف طوله"

لو طبقنا هذه النظرية على المثلثين ABD و BCD نجد أن :

الضلع MN يوازي BD وكذلك PO يوازي BD وبالتالي MN يوازي PO . وأيضًا :

|MN| = |PO| = 1/2 |BD|

الآن بنفس الطريقة لو رسمنا القطر AC ووصلنا NO وكذلك MP وطبقنا النظرية على المثلثين ABC و ADC سنجد أن

الضلع NO يوازي AC وكذلك MP يوازي AC وبالتالي NO يوازي MP . وأيضًا :

|NO| = |MP| = 1/2 |AC|


وبالتالي فإن الشكل MNOP عبارة عن متوازي أضلاع. وهو المطلوب إثباته.

"ملاحظة: فكرة هذا الحل من أحد الأعضاء، إذا ما خانتني الذاكرة هو المحترف2006 أو تتابع"

<<< يتبع >>>

تعليق 4
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة transistor اقتباس :
الله يجزاك خير أخي وائل ويجعل ذلك في موازين حسناتك : )

متابعين لروائعك مشرفنا الفاضل
أهلاً بك ترانزسترنا ... وترى ما نستغني عن حلولك ومشاركاتك المبدعة أستاذي

تعليق 5
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

السؤال الرابع: أوجد جميع الأعداد الصحيحة x,y التي تحقق

الحل: نتحايل قليلاً (والتحايل مطلوب في الأولمبياد ) ونعيد ترتيب الحدود لتبدو كأنها معادلة تربيعية في y ونستخدم المعادلة العامة لحل المعادلة التربيعية لنحصل على :



الآن يجب أن يكون ما تحت الجذر مربعًا كاملاً ، أي يكون يساوي 0 أو 1 أو 4 أو 9 أو ... ولكن لاحظ أن



وبالتالي لو كان
مربعًا كاملاً فهو إما أن يكون 0 أو 1 أو 4 . لنختبر الحالات الثلاث. الحالة الأولى:



وبالتالي قيمة x ليست عددًا صحيحًا وبالتالي لا يوجد حل في هذه الحالة. الحالة الثانية:



لدينا حلين صحيحين لـx هذه المرة. نعوض بالحل الأول x=3 في المعادلة (1) أعلاه لنوجد قيم y :



بالتالي لدينا الحلول

الآن نعوض بالحل الثاني x=7 :



وينتج لدينا الحلول

الآن نرجع للحالة الثالثة والأخيرة :



لدينا حلين صحيحين لـx . بنفس الطريقة نعوض في (1) لإيجاد قيم y . للحل x=4 :



وتنتج الحلول

آخر تعويض، x=6 :



يعطينا الحلول

نجمع الحلول كلها:




السؤال الخامس: أوجد حل المعادلة

الحل: أولاً لنحاول حصر فترة القيم الممكنة لـx . لاحظ أن الطرف الأيسر عبارة عن عدد غير سالب (لأنه جذر) وبالتالي الطرف الأيمن غير سالب، أو . أيضًا لاحظ أن 3+x تقع داخل الجذر وبالتالي يجب أن تكون غير سالبة، أو (ما استفدنا شي جديد ) . أخيرًا لاحظ أن ما بداخل الجذر الأكبر يجب أن يكون غير سالب أيضًا وبالتالي :



بجمع هذه المتباينات مع بعض نجد أن قيم x يجب أن تكون محصورة بين 0 و 6 ، أو .

الآن لنحل هذه المعادلة بطريقة كلاسيكية: نربع الجذور ونحولها إلى كثيرة حدود ونحاول إيجاد الحلول ثم نعوض الحلول لنتحقق من صحتها، كالتالي :



الآن بما أن



وبما أنه يجب أن يتحقق
، إذن نستبعد الحلول السالبة ، فنستبعد وكذلك .

الآن بالتعويض بـ في المعادلة
نجد أنه يحقق المعادلة وبالتالي هو أحد الحلول.

الآن يبقى التحقق من آخر الحلول وهو ، ولكن لاحظ أن :



وبالتالي عند التعويض بـ
في المعادلة الأساسية نجد :



( L.H.S اختصار لـLeft Hand Side يعني الطرف الأيسر،
أيضًا R.H.S اختصار Right Hand Side يعني الطرف الأيمن)

وأيضًا :



وبالتالي من السهل التحقق أن وهذا يعني أن
لا يمثل حلاً للمعادلة.

وبالتالي
هو الحل الوحيد.


<< يتبع مع حل السؤال السادس والذي لا أذكر أني رأيت حلاً له في المنتديات >>

تعليق 6
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

ملاحظة قبل حل السؤال السادس: أتعبني هذا السؤال، وبعد عدة محاولات واستنتاجات اقتنعت اقتناعاً تاماً أن هناك خطأ في صياغة النقطة (أ) ، لأنه العدد ب لن يقسم (م^م - م)\(م-1) بل يقسم (م^م - 1)\(م-1) وكذلك بحيث أن م^2 لا يقسم (ب-1) وليس (ب-1) لا يقسم م^2 كما هو مذكور. أيضًا في حالة م=2 فإنه (م^م - م)\(م-1) = 2 وبالتالي يجب أن يكون ب=2 وبالتالي ب-1=1 وهو يقسم م^2 فلذلك سأحل الحالة م=2 أولاً ثم نحلها عندما م > 2 ، عمومًا سأذكر السؤال فقط هنا (بدون أ,ب,ج,د,هـ) وسأحاول حله بدون التقيد بالخطوات المذكورة، مع أن خطوات الحل تكاد تكون متطابقة. أيضًا سأستخدم p بدل م ، q بدل ب ، a بدل د. ملاحظة أخرى مهمة: تذكر أن الأعداد الأولية هي 2,3,5,7 ... والعدد 1 ليس أولياً!


السؤال السادس : افترض أن p عدد أولي. برهن أنه يوجد عدد أولي q بحيث أن لكل عدد صحيح a ، سيكون الكسر ليس عددًا صحيحًا.

الحل: المطلوب إثباته هو أنه لكل عدد أولي p يوجد عدد أولي q بحيث q لا يقسم لأي عدد صحيح a .

أولاً في حالة p=2 ، العدد q=5 يحقق المطلوب حيث أنه يكون :



ولكن يمكن بسهولة التحقق من أنه لأي عدد صحيح a سيكون :



وبالتالي :



أي أن 5 لا يقسم وبالتالي فالكسر ليس عددًا صحيحًا . الآن لننتقل إلى الحالة
حيث p عدد أولي فردي . لنأخذ العدد :



لاحظ أن



وكذلك العدد مكون من مجموع عدد فردي من الأعداد الفردية فهو عدد فردي (تذكر أن p فردي). فبالتالي هذا العدد
هو عبارة عن حاصل ضرب بعض القواسم الأولية الفردية فقط (و إلا لكان زوجيًا لو لم يمتلك قواسمًا أولية فردية فقط! ) . الآن لاحظ أيضًا أن :



وبالتالي فإن
يمتلك بعض القواسم الأولية الفردية q التي تحقق أن ( وإلا لكان لو كان كل عدد q من قواسم الأولية يحقق !) الآن هذه بعض الاستنتاجات مما سبق :

(لأن q فردي)

لا يقسم q-1 أو بالرموز
( لأن )

( لأن q أحد قواسم
)

( لأن
و q يقسم فبالتالي q يقسم )

الآن نحن نريد إثبات أن q لا تقسم
. لنفترض العكس ولنحاول التوصل لتعارض. لنفترض أن q تقسم ، أو وبالرفع لأس p نجد أن :


(التطابق الأخير متحقق لأن
من الاستنتاجات أعلاه )

الآن من نظرية أويلر لدينا أن :



وبالتالي سيكون :



الآن لإيجاد ، لاحظ أن قواسم
الممكنة هي فقط ولكننا استنتجنا أن لا يقسم q-1 وبالتالي فـ سيكون أحد العددين وفي كلتا الحالتين سيكون :



ولكننا استنتجنا من قبل أن



وبالتالي يجب أن يتحقق أن



وبالتالي يكون



ولكننا استنتجنا من قبل أن



وبالتالي



ولكن عندها سيكون q يقسم p وهما أوليان وبالتالي q=p ولكن عندنا أن



وبالتالي



وبالتالي q=1 وهذا تعارض لأن q عدد أولي فردي أكبر من 2 .


<< تمت إجابة أسئلة الأولمبياد التجريبي , ترقبوا إجابة أسئلة الأولمبياد الأول قريباً -إن شاء الله- >>

تعليق 7
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

" أسئلة الأولمبياد الأول 2006 "

(في المرفقات تجدون نسخة من الأسئلة)


السؤال الأول: شبه منحرف متطابق الساقين، ارتفاعه وقاعدته الصغرى متطابقان، وأيضًا قطره وقاعدته الكبرى متطابقان. ما هي نسبة الارتفاع إلى القطر؟

الحل: هذه رسمة توضيحية للشكل :


والمطلوب هو النسبة a/c ، والتي يمكن استنتاجها كالتالي:

نستخدم فيثاغورس للمثلث الذي في المنتصف والذي أضلاعه هي الارتفاع a والقطر c والجزء الأيمن من القاعدة الكبرى، وبالتالي :



(ملاحظة: للانتقال من السطر الثاني للثالث نقسم على c )


السؤال الثاني: الدالة f تحقق



احسب .

الحل: لدينا أن f تحقق العلاقة :



ومنها نستنتج أن



(ملاحظة: للانتقال من السطر الأول للثاني نستخدم العلاقة رقم (1) )

وبالتعويض بـ n=2005 نستنتج أن f(2005) = 1/1003


السؤال الثالث: استخدم التعريف :



الآن، إذا كان يوجد عدد صحيح موجب k ، ودالة بحيث يحققان العلاقة :



لكل عدد طبيعي n . فأوجد العدد k والدالة f .

الحل: باستخدام التعريف والعلاقة أعلاه نحصل على :



أيضًا
باستخدام التعريف والعلاقة أعلاه بطريقة أخرى نستطيع الحصول على :



الآن بمساواة المقدارين أعلاه سيكون لدينا :



الآن لدينا علاقة تكرارية للدالة f وبالتالي يمكننا استنتاج بدلالة ، كالتالي :



وبالتالي لدينا العلاقة :



الآن لنطبق هذه العلاقة على
بدلاً من n :



لنطبقها مرة أخرى ولكن على ، ونستفيد من النتائج السابقة :



نطبقها الآن على لنجد أن :



الآن واضح أنه لو طبقناها k مرة سيكون لدينا :



ويمكن إثبات هذه النتيجة بالاستقراء الرياضي على k بسهولة ، كالتالي :



الآن لدينا أن :



ولكن من العلاقة الأساسية في السؤال لدينا أيضًا :



بمساواة العلاقتين :



نحذف n من الطرفين :



ولكن k هو عدد صحيح موجب ، وكذلك
عدد صحيح موجب ، وبالتالي يجب أن يتحقق أن

k = 1
f(1) = 2

ولكن
، وبالتالي :

f(n) = n + 1 .


<<< يتبع >>>

تعليق 8
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

السؤال الرابع : أوجد حلول المعادلة :



الحل: يمكن حل المعادلة بأكثر من طريقة. الطريقة الأولى وهي الطريقة التقليدية : نجرب س=1 ، 1\3 ، 1\9 ، -1 ، -1\3 ، -1\9 وسنستنتج أن س = -1 حل ، وكذلك س = 1\3 حل ، ثم تتحول المعادلة إلى معادلة تربيعية وحلها مباشر. الطريقة الثانية : نلاحظ أن س = -1 حل بديهي ، ثم تتحول إلى معادلة تكعيبية ونحلها بطريقة كاردانو أو أي طريقة أخرى. الطريقة الثالثة: نستخدم طريقة فراري لحل المعادلات من الدرجة الرابعة مباشرة. الطريقة الرابعة وهي الأسهل (وهي الطريقة الموجودة على موقع المسابقة):



وبالتالي الحلول هي :




السؤال الخامس: (قمت بتغيير صيغة السؤال قليلاً) في الرسم أدناه. استنتج أن:






(ملاحظة: الحروف ABCDEF تعبر عن رؤوس الزوايا، بينما الحروف abcde تعبر عن أطوال الأضلاع)

الحل: سنستخدم تشابه المثلثين BFC و EDC وكذلك تشابه المثلثين EBA و ECF . أولاً لنثبت تشابههم . لاحظ تطابق الزوايا التالية :

EDC = BFC (كلاهما زوايا قائمة)
DCE = FCB (متقابلتان بالرأس)

وبالتالي فالمثلثان
BFC و EDC متشابهان لتطابق زاويتين، وهذا يعني أن النسب بين الأضلاع المتناظرة متساوية، وبالتالي :



أيضاً
لاحظ تطابق الزوايا التالية :

CEF = BEA (هي نفس الزاوية تقع في مثلثين)
CFE = BAE (بالتناظر لأن FC يوازي AB )

وبالتالي فالمثلثان EBA و ECF أيضًا متشابهان لتطابق زاويتين، وهذا يعني أن النسب بين "الارتفاعات" المتناظرة متساوية ونسبة التشابه تساوي النسبة بين "الأضلاع" المتناظرة، وبالتالي :



الآن يمكننا استخدام العلاقتين أعلاه لاستنتاج أن :



وهو المطلوب إثباته .


<<< يتبع >>>

تعليق 9
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

السؤال السادس : لتكن أعداد صحيحة موجبة بحيث تحقق :



أوجد .

الحل: لاحظ أن



وبالتالي



الآن نحن نعرف أنه لأي عدد صحيح x لدينا



وبالتالي لدينا 3 حالات لـ n ، الحالة الأولى :



وتؤدي إلى أن
، ولا يوجد فيها أي تعارض.

الحالة الثانية :



وتؤدي إلى أن ، وهذا مستحيل ، لأن
لأي عدد صحيح x .

الحالة الثالثة :



وتؤدي إلى ، وهذا مستحيل ، لأن
لأي عدد صحيح x .

وبالتالي الحالة الأولى هي الحالة المتحققة دائماً وبالتالي



وهذا يعني أن 5 يقسم كلاً من و ، ولكن هذا يعني أن 5 يقسم كلًا من m و n وبالتالي فإن 25 يقسم كلاً من
و ، وهذا يعني أن



وبالتالي



وبالتالي فالحد الأدنى لكل من
و سيكون أكبر من أو يساوي 25 . الآن لو استطعنا إيجاد بعض الأعداد الصحيحة الموجبة بحيث تجعل فعندها سيكون . من الواضح أن هذا متحقق عندما ، وبالتالي .


<< تمت إجابة أسئلة الأولمبياد الأول 2006 , ترقبوا إجابة أسئلة الأولمبياد الثاني قريباً -إن شاء الله- >>

تعليق 10
Transistor عضو معتزل
www.yzeeed.com

الله يرفع قدرك مشرفنا ،، ويبارك فيك وفي علمك : )


أقول وائل أبيك في كلمة راس

صراحة نظرية العدد وشغل البواقي وهالهرج عندي مثل الطلاسم : ( ،، فلو تدلني على اسم كتاب واضح تكسب فيني أجر ..

إلا بالمناسبة الاولمبياد ذي مو لطلاب الثانوي والثانوي ما يدرسون نظرية العدد فليش تدخل معهم ؟

تعليق 11
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

هلا بيك ترانزستر ...

بالنسبة لنظرية العدد ، عندك كتاب

Author: Strayer, James K.
Title: Elementary number theory
Published: Prospect Heights, Ill. : Waveland Press, 2002

أنصحك فيه لو إنت صفر في نظرية العدد ...

وصحيح الأولمبياد لطلاب الثانوي ، وما يدرسون نظرية العدد ، بس المسائل إللي تجي تكون سهلة شوية والطالب المهتم أتوقع راح يكون عنده اطلاع على مبادئ نظرية العدد وهذا يكفي


تعليق 12
Transistor عضو معتزل
www.yzeeed.com

شكرا على التوضيح ،، وتسلم على التوجيه

باذن الله أحاول اتحصل على الكتاب

تعليق 13
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

العفو ... و بالتوفيق

تعليق 14
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

" أسئلة الأولمبياد الثاني 2007 "

(في المرفقات تجدون نسخة من الأسئلة)

السؤال الأول: أوجد جميع الدوال الحقيقية بحيث تحقق



لجميع الأعداد الحقيقية x,y .

الحل:
لا توجد طريقة عامة لحل مثل هذه الأسئلة، وتعتمد بشكل كبير على "الاحتيال" وتضييق النطاق على الدالة بحيث نستنتج أن الدالة يجب أن تحقق بعض الخواص المعينة وبالتالي نستطيع استنتاج جميع الدوال . الآن لاحظ أنه لو قسمنا على xy ستصبح العلاقة في السؤال بشكل أبسط، ولكن حتى نستطيع القسمة على xy يجب أن يكون ، فلذلك لنتخلص من الحالة أولاً .

الآن لو كان ، سيكون إما فقط أو فقط أو كلاهما أصفار . لو كان
فقط، عندها تصبح العلاقة في السؤال هي وعندها أي دالة تحقق ستكون صحيحة.

أما لو كان
فقط ، عندها تصبح العلاقة في السؤال هي وعندها أيضًا أي دالة تحقق ستكون صحيحة.

أما لو كان
وكذلك فعندها تكون العلاقة في السؤال وهذه علاقة متحققة دائماً وبالتالي أي دالة في العالم ستكون صحيحة.

الآن انتهينا من الحالة الخاصة
، ولندرس الدالة عندما . أولاً لنقسم العلاقة في السؤال على xy لنحصل على :



وبعد قليل من إعادة الترتيب :



الآن لنعرف الدالة g كالتالي :



بحيث . بتطبيق العلاقة الأخيرة نجد أن :



لكل الأعداد الحقيقية x,y . ولكن ما معنى أن يكون
لكل الأعداد الحقيقية x,y ؟ هذا يعني أن الدالة g هي في الحقيقة دالة ثابتة ! أي أنه يوجد عدد حقيقي k بحيث يحقق :



لجميع الأعداد الحقيقية x ، وبالتالي :



الآن ضع z=2x :



حيث c = k/2 . الآن لنعوض عن هذه الدالة في العلاقة المعطاة في السؤال لنتأكد من صحتها :



وواضح أنها صحيحة . أخيرًا نتأكد من أن
وهذا واضح .

وبالتالي فالدالة f
تحقق المطلوب إذا وفقط إذا كانت على الصيغة حيث c أي عدد حقيقي، أي أن تحقق المطلوب ، كذلك تحقق المطلوب ، وكذلك ...

<<< يتبع >>>

تعليق 15
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

السؤال الثاني : أثبت أنه لا يوجد أعداد حقيقية x,y,z تحقق النظام :



الحل: لنفترض أنه يوجد بعض الأعداد الحقيقية التي تحقق هذا النظام. الآن بجمع الثلاث معادلات وترتيب الحدود قليلاً نجد أنه يجب أن يتحقق :



وبالتالي :



ولكننا نعلم أن لأي عدد حقيقي a ، وبالتالي فالأعداد هي أعداد غير سالبة، أي أنها إما أن تساوي صفر أو أنها موجبة ، ولكن بما أن مجموعها يساوي "صفر" بالتالي يجب أن تكون جميعها أصفار ، أي أن :



وبالتالي :



ولكن عند التعويض بهذه القيم في النظام المعطى نجد أنه لا يحقق المطلوب، وهذا تعارض ، وبالتالي لا توجد أعداد حقيقية x,y,z تحقق النظام المعطى .



السؤال الثالث : اختيرت ثلاث نقاط A,B,C على الدائرة والتي مركزها M بحيث يكون AB = AC . لتكن الدائرة التي مركزها A وتمر بالنقطة B . إذا فرضنا أن :



فأوجد قياس الزاوية MBC .

( ملاحظة: استخدمت هنا
بدلاً من د1 ، و بدلاً من د2 ، و A,B,C,M بدلاً من أ,ب,ج,م على التوالي )

رسم توضيحي :



الحل : لاحظ أن الدائرتين تتقاطعان عند B وكذلك عند C لأن AB = AC . الآن لاحظ أن

(نصف قطر
) = AB = AC ولنسمه ، أي أن :



بنفس الطريقة ، لاحظ أن

(نصف قطر
) = MB = MC ولنسمه ، أي أن :



لاحظ أن الزاوية BAC والزاوية BMC تشتركان في نفس الوتر في نفس الدائرة (وهو الوتر BC) ، والزاوية BAC محيطية بينما الزاوية BMC هي زاوية مركزية ، وبالتالي فقياس الزاوية BAC هو نصف قياس الزاوية BMC ، وبالتالي لو كان :



فسيكون :



الآن يمكننا استنتاج التالي :









الآن بتطبيق العلاقة المعطاة :



نستنتج أن :



ولكن x زاوية في مثلث ، وبالتالي ومن هذا نستنتج أن x = 120 ، ولكن
فبالتالي ولكن المثلث BMC متطابق الساقين ، وبالتالي :



(ملاحظة: شكراً للأستاذ "تتابع" على حل هذا السؤال)



<< يتبع >>

تعليق 16
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

السؤال الرابع : في الشكل أدناه ، المربع ABCD طول ضلعه 1 ، وقياس الزاوية MBN يساوي 45 . أوجد محيط المثلث MDN .





ملاحظة: أضفت في الرسم الزوايا x,y وأطوال الأضلاع a,b وسأستخدمها في الحل .

الحل: لاحظ في الشكل أن :



وبالتالي :



الآن من ناحية أخرى ، نظرية فيثاغورس تعطينا أن :



الآن من الرسم نجد أن :



نعوض عن قيم MD و DN لنجد أن :



الآن محيط المثلث MDN هو :




السؤال الخامس : ما هو عدد المتتابعات التي يمكن تكوينها من مجموعة الأعداد بحيث أن ؟

الحل : لاحظ أنه لأي توفيقة (أو مجموعة) مكونة من 6 أعداد (جميعها مختارة من
) سيمكننا تكون متتابعة واحدة فقط بحيث ، وكذلك لكل متتابعة يمكننا تكوين توفيقة واحدة فقط مكونة من 6 أعداد (جميعها مختارة من ) . لتوضيح ذلك ، لاحظ أنه لو اخترنا الأعداد { 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } فإنه يوجد متتابعة واحدة فقط على الصيغة المطلوبة ، وهي (1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 6 ) . كذلك لو أخذنا المتتابعة (1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 6 ) لاحظ أن ويمكن تكوين توفيقة واحدة فقط من هذه المتتابعة وهي { 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } .

هذا يعني أن هناك علاقة 1-1 بين

"عدد التوفيقات المكونة من 6 أعداد مأخوذة من المجموعة
"

وبين

"
عدد المتتابعات التي يمكن تكوينها من مجموعة الأعداد بحيث أن "


لأنه كما ذكرنا ، لو كان لدينا متتابعة فيكون لدينا توفيقة ، ولو كان عندنا توفيقة يكون عندنا متتابعة .

الآن ما الفائدة من هذا؟ ... الفائدة أنه الآن نستطيع بدلاً من أن نعد عدد المتتابعات ، نستطيع عد عدد التوفيقات المكونة من 6 أعداد
مأخوذة من المجموعة وهذا سيعطينا نفس العدد .

الآن لدينا نظرية في التوافيق والتباديل تقول أن :

نظرية: عدد التوفيقات المكونة من r عدد والمأخوذة من مجموعة مكونة من k عدد (حيث كل عدد متوفر بكمية لا نهائية) هو "

الآن في هذا السؤال واضح أن r=k=6 وبالتالي عدد الحلول هو :



(ملاحظة: في نص النظرية نحتاج الشرط
(حيث كل عدد متوفر بكمية لا نهائية) ولكن هذا الشرط لا قيمة له في هذه الحالة الخاصة حيث r=k)


<<< يتبع >>>

تعليق 17
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

السؤال السادس: لوحة مثبت عليها 500 مصباح كهربائي مطفأ مرقمة من 1 إلى 500 . في اليوم الأول يضيء فني الكهرباء جميع المصابيح. في اليوم الثاني يطفئ الفني المصابيح التي أرقامها زوجية فقط. وفي اليوم الثالث يغير الفني حالة المصابيح التي أرقامها مضاعفات الرقم 3 ( أي يطفئ المصباح رقم 3 ويضيء المصباح رقم 6 وهكذا ). وفي اليوم الرابع يغير الفني حالة المصابيح التي أرقامها مضاعفات الرقم 4 فقط . ويستمر هكذا ( بحيث يغير في اليوم (ن) حالة المصابيح التي أرقامها مضاعفات العدد (ن) فقط ) . ما هو عدد المصابيح التي تكون مضيئة مع نهاية اليوم الخمسمائة؟

الحل: لنأخذ مثالاً مبسطًا، الأعداد من 1 إلى 9 فقط ونرى ما سيحدث :



Bulb = مصباح

الصف الأول يعبر عن أرقام المصابيح ، والعمود الأول يعبر عن أرقام الأيام . في اليوم الأول تكون كلها مضيئة (ON) ، في اليوم الثاني تصبح المصابيح 2,4,6,8 مطفأة (OFF) ، في اليوم الثالث المصباح رقم 3 يصبح (OFF) ورقم 6 يصبح (ON) ورقم 9 يصبح (OFF) ، وأترك لكم ملاحظة البقية ...

ما نلاحظه هو أن كل رقم تتغير حالته بعدد قواسمه ، يعني الرقم 1 تغيرت حالته مرة واحدة فقط لأن لديه قاسم واحد فقط (وهو العدد 1) ، بينما العدد 2 تغيرت حالته مرتين لأن لديه قاسمين ( 1 و 2 ) ، وكذلك العدد 3 تغيرت حالته مرتين لأن له قاسمين (1 و 3) ، بينما العدد 4 تغيرت حالته ثلاث مرات لأن لديه ثلاث قواسم (1 و 2 و 4 ) ، وأترك لكم تحليل البقية ...

نلاحظ أيضًا أن المصباح الذي تتغير حالته مرة واحدة أو ثلاث مرات (أو أي عدد فردي من المرات) سيكون في النهاية مضاء ، بينما المصباح الذي تتغير حالته مرتين أو أربع مرات (أو أي عدد زوجي من المرات) سيكون في النهاية مطفأ .

يبقى في الأخير أن نلاحظ أن الأعداد 1 و 4 و 9 هي فقط التي تمتلك عدداً فردياً من القواسم ، في الواقع جميع المربعات الكاملة 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , ... تمتلك عدداً فردياً من القواسم ، بينما أي عدد ليس عبارة عن مربع كامل سيكون له عدد زوجي من القواسم

وبالتالي فقط المصابيح التي أرقامها تمثل مربعات كاملة هي التي ستبقى مضاءة في النهاية .

الآن بعد هذه المقدمة ، دعونا نثبت هذا الكلام رياضياً :

أولاً: دعونا نفهم على أي أساس تغير حالة المصباح رقم (م) في اليوم رقم (ن)؟ من البديهي أن نعلم أن المصباح رقم (م) سوف تتغير حالته في اليوم رقم (ن) إذا وفقط إذا كان العدد (ن) هو أحد قواسم العدد (م) أو أن م|ن عبارة صحيحة.


ثانيًا: دعونا نعرف الحالتين التاليتين:
1- إذا كان عدد قواسم العدد (م) زوجيًا : إذن سوف يكون المصباح رقم (م) مغلقًا .
2- إذا كان عدد قواسم العدد (م) فرديًا : إذن سوف يكون المصباح رقم (م) مفتوحًا .
* لاحظ أن أي عدد (م) لا يخلو من الحالتين السابقتين.

دعونا الآن نعرف ونعد قواسم العدد (م) :
لاحظ أن أي عدد صحيح (م) إذا كان يقبل القسمة على عدد صحيح (ن) فإن هناك عددًا صحيحًا (هـ) بحيث : ( م \ ن ) = هـ
وكذلك إذا كان (م) يقبل القسمة على (د) فإن هناك (ج) بحيث : ( م \ د ) = ج
ولا ننسى كذلك أن العدد (م) يقبل القسمة على نفسه وعلى الواحد أيضًا .
إذن قواسم العدد (م) هي : { 1 , ج , هـ , ن , د , م }
بحيث أن 1×م = ج×د = هـ×ن = م

أي أن عدد قواسم العدد (م) يكون دائمًا زوجيًا, إلا في حالة واحدة:
أن يكون هـ = ن , لقاسمين من قواسم (م)
أي أن يكون (م) مربعًا كاملاً

حيث تصبح مجموعة قواسم العدد (م) هي: { 1 , ج , ن , ن , د , م }
بحيث أن 1×م = ج×د = ن×ن = م
ولا داعي لتكرار (ن) فتصبح : { 1 , ج , ن , د , م } وعددها فردي
بحيث أن 1×م = ج×د = (ن^2) = م

وهذه الحالة تحدث فقط إذا كان (م) مربعًا كاملاً, وبالبحث عن المربعات الكاملة الأصغر من 500 نجدها:

ج = {1 ،4 ، 9 ، 16 ، 25 ، 36 ، 49 ، 64 ، 81 ، 100 ، 121 ، 144 ، 169 ، 196 ، 225 ، 256 ، 289 ، 324 ، 361 ، 400 ، 441 ، 484 }

| ج | = [ جذر 500 ] = 22 مصباحًا

حيث [س] تعني أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي س (دالة الجزء الصحيح)


<< تمت إجابة أسئلة الأولمبياد الثاني 2007 , ترقبوا إجابة أسئلة الأولمبياد الثالث قريباً -إن شاء الله- >>

تعليق 18
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

" أسئلة الأولمبياد الثالث 2008 "

السؤال الأول: الأعداد الحقيقية x,y,z تحقق نظام المعادلات :



أوجد .

الحل : لاحظ تحقق المساواة التالية :



الآن نعيد ترتيب الحدود قليلاً ، ونستنتج أن :




السؤال الثاني : أوجد جميع الثلاثيات بحيث تكون الأعداد التالية كلها أولية :



(ملاحظة: الأعداد الأولية هي 2 , 3 , 5 , 7 , ... بينما العدد 1 ليس أولياً)

الحل : بما أن الأعداد هي أعداد أولية ، إذن هي أعداد موجبة ، أو وبالتالي ، وبالتالي :



لا نستفيد من هذه العلاقة فقط ترتيب الأعداد x,y,z ولكن أيضًا نستفيد منها أنها أعداد مختلفة ، وهذا مهم في الحل .

الآن نعلم أن جميع الأعداد الأولية هي أعداد فردية ما عدا العدد 2 هو العدد الأولي الوحيد الزوجي . الآن بالمعلومات التي لدينا يصبح لدينا حالتين :

(1) الأعداد x,y,z جميعها فردية
(2) أحد الأعداد x,y,z زوجي والعددين الآخرين فرديين (في هذه الحالة سيكون x=2 لأنه
)

لاحظ أنه لا يمكن أن يكون هناك عددين (أو ثلاثة) زوجيين ، لأنه عندها سيكونوا متساويين وهذا يناقض كون
.

الآن سنثبت أن الحالة الأولى مستحيلة . لاحظ أنه لو كانت الأعداد x,y,z كلها فردية ، عندها ستكون الأعداد
كلها زوجية ، ولكنها أيضاً أولية ، والعدد الزوجي الأولي الوحيد هو 2 ، وبالتالي يجب أن يتحقق :



ولكن هذا تناقض لأنه لو كان y - x = z - x سيكون z = y وهذا يناقض كون
.

الآن تبقى الحالة الثانية ، وحينها سيكون x=2 ، ويصبح المطلوب الآن أسهل . نريد إيجاد عددين فرديين y,z بحيث تكون الأعداد :



كلها أولية . ولكن بما أن y,z فردية إذن z - y زوجي ، ولكنه أولي ، وبالتالي z - y = 2 وبالتالي z = y + 2 . الآن يصبح المطلوب أسهل . نريد إيجاد عدد فردي y بحيث تكون الأعداد :



كلها أولية . الآن لاحظ أنه في الأعداد الستة المتتالية :



يوجد بالضبط عددين منها يقبلان القسمة على 3 . إذن لدينا 3 حالات فقط :

الحالة الأولى : العددين يقبلان القسمة على 3 ، ولكن y-2 هو عدد أولي ، والعدد الأولي الوحيد الذي يقبل القسمة على 3 هو العدد 3 نفسه . إذن y-2=3 وبالتالي y=5 . نتحقق أنه يحقق المطلوب : y-2=3 ، أيضاً y=5 ، و y+2=7 جميعها أعداد أولية . إذن y=5 يحقق المطلوب .


الحالة الثانية : العددين يقبلان القسمة
على 3 ، ولكن y+2 هو عدد أولي ، والعدد الأولي الوحيد الذي يقبل القسمة على 3 هو العدد 3 نفسه . إذن y+2=3 وبالتالي y=1 . ولكن هذا العدد لا يحقق المطلوب لأن العدد 1 غير أولي . إذن لا يوجد حل في هذه الحالة .

الحالة الثالثة : العددين يقبلان القسمة على 3 ، ولكن y هو عدد أولي ، والعدد الأولي الوحيد الذي يقبل القسمة على 3 هو العدد 3 نفسه . إذن y=3 . ولكن عندها y-2 = 1 وهو غير أولي ، إذن لا يوجد حل في هذه الحالة أيضاً .

وبالتالي فالحل الوحيد هو y=5 وعندها z=y+2=7 ، وكذلك x=2 ، إذن الثلاثية هي الثلاثية الوحيدة التي تحقق المطلوب .


السؤال الثالث : في الشكل أدناه ، أوجد مجموع قياسات الزوايا

أ + ب + ج + د + هـ + ر + ق




الحل : نعلم أن مجموع زوايا أي شكل مكون من (ن) ضلع هو 180 × (ن-2) . وبالتالي فمجموع زوايا الرباعي يساوي 360 ، ومجموع زوايا السباعي يساوي 900 .

الآن لنضيف
الزوايا س,ص,ع,ك,ل,م,ن على الشكل :




الآن لاحظ أن في السباعي س ص ع ك ل م ن :

س + ص + ع + ك + ل + م + ن = 900

الآن لاحظ في الرباعيات ( أ ج س ر ) , ( ب د ص ق ) , ( ج هـ ع أ ) , ( د ر ك ب ) , ( هـ ق ب ن ) , ( ر أ م د ) , ( ق هـ ج ل ) :

أ + ج + س + ر = 360
ب + د + ص + ق = 360
ج + هـ + ع + أ = 360
د + ر + ك + ب = 360
هـ + ق + ب + ن = 360
ر + أ + م + د = 360
ق + هـ + ج + ل = 360

بالجمع :

3 ( أ + ب + ج + د + هـ + ر + ق ) + (
س + ص + ع + ك + ل + م + ن) = 7 × 360 = 2520

ولكن


س + ص + ع + ك + ل + م + ن = 900

وبالتالي

أ + ب + ج + د + هـ + ر + ق = 540




<<< يتبع >>>

تعليق 19
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

السؤال الرابع : طول المستطيل ABCD يساوي 8 وعرضه يساوي 1 . قسم الضلع AB إلى ثمانية أجزاء متساوية كما هو موضح في الشكل . أوجد جميع الثلاثيات حيث وكذلك :







الحل: بما أن قياس جميع الزوايا أقل من 90، إذن لدينا العلاقة :





الآن من الرسم يمكن استنتاج العلاقة التالية بسهولة :



فيصبح المطلوب في السؤال هو :









الآن يمكننا تجريب الخيارات الممكنة للعدد i ، حيث أنه يجب أن يساوي أحد الأعداد 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . ونأخذ بالاعتبار أن العدد k هو عدد صحيح وبالتالي الكسر عبارة عن عدد صحيح ، وأيضًا نأخذ بالاعتبار أن j يساوي أحد الأعداد 2 , 3 , 4 , 5 , 6 والعدد k يساوي أحد الأعداد 3 , 4 , 5 , 6 , 7 (لأن
) .

الآن لنأخذ i=1 ، عندها :



وبالتالي يجب أن يكون j=2 ، وعندها يكون k=3 . هذا الحل الأول . ( لاحظ أننا استبعدنا الحل j=3 لأنه يجعل k=2 وهذا يناقض كون k > j )

عندما i=2 يكون :



وعندها يكون j=3 هو الخيار الوحيد الممكن وهذا يجعل k=7 . وهذا الحل الثاني . ( لاحظ أننا استبعدنا الحل j=7 لأن j لا يمكن أن يزيد عن 6 )

الآن عندما i=3 يكون :



وعندها لا يوجد حل ، لأنه يجب أن يقبل 10 القسمة على j-3 ولكن قواسم 10 هي 1 , 2 , 5 , 10 وبالتالي j = 4,5,8,13 ونستبعد j=8,13 لأن j < 7 ولكن j=4 يجعل k=13 وكذلك j=5 يجعل k=8 ولكن k < 8 . وبالتالي لا يوجد حل عندما i=3 .

الآن عندما i=4 يكون :



وعندها أيضًا لا يوجد حل ، لأن j-4 يجب أن يقسم 17 وعندها j يساوي إما 5 او 21 وكلاهما يؤدي إلى تناقض ( j=21 نفسها تناقض ، وعندما j=5 سيكون k=21 )

الآن عندما i=5 يكون :



وعندها أيضًا لا يوجد حل ، لأن j-5 يجب أن يقسم 26 وعندها j=6 (وهذا يؤدي إلى k=31، تعارض) أو j=7,18,31 وهذه كلها تناقض كون j < 7 .


وبالتالي الحلول الوحيدة هي :




السؤال الثاني : برهن أن لكثيرة الحدود



خمسة أصفار حقيقية ، علمًا أن أحدها موجب وأقل من 1 .


الحل : لاحظ أن

إذن تقبل القسمة على كل من

وبالتالي :



الآن لنضع :



لاحظ أن :



إذن منحنى الدالة يقطع محور السينات في نقطة ما بين العددين -1 , 0

أي أن تمتلك جذرًا حقيقيًا في الفترة
( -1 , 0 ) ... (من نظرية القيمة الوسطية )

وبنفس الطريقة :


إذن
تمتلك جذرًا في الفترة ( -10 , -9 )

الآن لنلخص ما سبق ، الدالة
تمتلك الجذور الحقيقية الخمسة التالية :

1) العدد 1 ، لأن
تقبل القسمة على
2) العدد -1 ، لأن تقبل القسمة على
3) جذر حقيقي في الفترة ( -1 , 0 )
4) جذر حقيقي في الفترة
( -10 , -9 )
5) جذر حقيقي في الفترة ( 0 , 1 ) ، من معطيات السؤال .

وبالتالي فجذور الدالة
الخمسة جميعها حقيقية ، وبذلك يثبت المطلوب .


حل آخر بدون اللجوء إلى حساب
: بما أن من الدرجة الخامسة ، إذن لها 5 حلول ، ونحن أوجدنا 4 حلول حقيقية ( وهي العدد 1 والعدد -1 وحل في الفترة (-1 , 0) وحل في الفترة (0 , 1) ) ، فإذا افترضنا أن الحل الخامس عدد مركب فإن مرافقه يجب أن يمثل حلاً أيضًا لـ ولكن مرافقه يجب أن يساوي أحد الحلول الأربعة السابقة إذا كان مركبًا غير حقيقيًا أو يساوي نفسه إذا كان حقيقيًا وبما أن الحلول الأربع الأخرى جميعها حقيقية نستنتج أن الحل الخامس أيضًا حقيقي.


<<< يتبع >>>

تعليق 20
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

السؤال السادس : تعرض شركة الاتصالات السعودية ثلاثة أنواع جديدة من شرائح الهاتف النقال. بكم طريقة يستطيع 6 أصدقاء شراء 6 شرائح ، واحدة لكل شخص ، بحيث تتضمن مجموعة الشرائح المشتراة شريحة واحدة على الأقل من كل نوع ؟

الحل: لاحظ أن لدينا فقط 10 حالات مختلفة (بالاعتماد على عدد الشرائح المشتراة من كل شركة) وغير متداخلة (disjoint) وبالتالي يمكن دراسة كل منها على حدة وإيجاد عدد الطرق الممكنة في كل من هذه الحالات وسيكون المجموع هو عدد الطرق الممكنة الذي نبحث عنه.

الآن هذه الحالات هي :

( company 1 = الشركة الأولى ، وهكذا ... )
( case 1 = الحالة الأولى ، وهكذا ... )
( no. of ways = عدد الطرق الممكنة )



على سبيل المثال، لنأخذ الحالة الأولى : يشتري الأصدقاء 6 شرائح ، 4 شرائح من الشركة الأولى وشريحة واحدة من كل من الشركتين الثانية والثالثة . الآن لديهم 6 شرائح ، 4 منها من النوع الأول وواحدة من النوع الثاني وواحدة من النوع الثالث ، ومن المعلوم أن عدد طرق توزيع هذه الشرائح على 6 أشخاص يساوي

في الحالة الثانية مثلاً : الآن لديهم 3 من النوع الأول و2 من الثاني و1 من الثالث ، وعدد طرق ترتيبها عليهم هو

الآن نجمع الطرق :

3×30 + 6×60 + 90 = 540 طريقة




<< تمت إجابة أسئلة الأولمبياد الثالث 2008 , ترقبوا إجابة أسئلة الأولمبياد الرابع والأخير قريباً -إن شاء الله- >>

تعليق 21
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

" أسئلة الأولمبياد الرابع 2009 "

السؤال الأول : أوجد جميع الأعداد الحقيقية x التي تحقق :



الحل : نعيد ترتيب الحدود :



لاحظ أن لا تحقق المطلوب وبالتالي يمكننا أن نفترض أن ، ونقسم على :



الآن هذه معادلة تربيعية في المتغير . وحلها بالمعادلة العامة هو :



الحالة الأولى :



الحالة الثانية :



وبالتالي الحلول الأربعة هي :



(شكراً للأستاذ أبو خالد على فكرة الحل)


السؤال الثاني : أوجد جميع الأزواج المرتبة المكونة من أعداد صحيحة موجبة بحيث يكون المقدار عدداً صحيحاً موجباً .

الحل : لاحظ أولاً أن



وبالتالي المقدار 25ab يقسم المقدار ، وبالتالي 25 تقسم ، ولكن 25 تقسم ، فبالتالي 25 تقسم ولكن فبالتالي 25 تقسم ، إذن (لأن 5 عدد أولي) سيكون 5 يقسم b ، وبالتالي يوجد عدد صحيح موجب c بحيث يحقق . الآن لنعوض عن هذه القيمة في المقدار الأساسي :



وبالتالي المقدار 5ac يقسم المقدار ، وبالتالي a تقسم ، ولكن a تقسم ، فبالتالي a تقسم . الآن لنعرف d على أنه القاسم المشترك الأكبر للعددين a,c ، أي أنه وبالتالي يوجد عددين صحيحين بحيث



وكذلك . أيضًا (لأن d هو القاسم المشترك الأكبر للعددين a,c ) .

الآن لدينا أن a تقسم وهذا يعني أن يقسم وبالتالي يقسم ولكن وبالتالي يقسم العدد 21 ، وبالتالي يساوي أحد الأعداد 1 , 3 , 7 , 21 .

الآن بطريقة مشابهة ، لاحظ أن المقدار الأساسي هو :



وبالتالي c تقسم ، ولكن c تقسم وبالتالي c تقسم ، وهذا يعني أن تقسم وبالتالي تقسم ولكن وبالتالي ، وهذا يعني أن :



الآن لدينا أن :



وبالتالي يصبح المقدار الأساسي في السؤال بصورة أبسط :



الآن لنتأكد أي قيم للعدد تحقق المطلوب :

الحالة الأولى :



الحالة الثانية :



الحالة الثالثة :



الحالة الرابعة :



وبالتالي مجموعة الحلول هي :



حيث c هو أي عدد صحيح موجب .


<<< يتبع >>>

تعليق 22
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

السؤال الثالث : تمر دائرة برؤوس مثلث متطابق الأضلاع ABC . لتكن D أي نقطة على القوس الأصغر AB . برهن أن :








الحل : لاحظ أن ، وبما أن الزاوية ACB تقابل الزاوية ADB (في الرباعي الدائري ADBC) إذن :



الآن لنرسم الشعاع AD ، ولنختر النقطة H التي تجعل المثلث BDH متطابق الأضلاع . لاحظ أنه يمكننا اختيار هذه النقطة لأن :







الآن لاحظ أن المثلث HBA هو في الحقيقة نفسه المثلث DBC ولكنه ملفوف حول النقطة B بمقدار 60 درجة . ولكن لا تكفي هذه الملاحظة ، يجب إثباتها رياضياً. لاحظ أن :

(لأن المثلث BDH متطابق الأضلاع)
(لأن المثلث ABC متطابق الأضلاع)

لاحظ أيضًا أن :



وبالتالي فالمثلثين HBA و DBC متطابقين (لتطابق ضلعين والزاوية المحصورة بينهما) ، وبالتالي :



وهو المطلوب إثباته .

(ملاحظة: شكراً للأخ mathson على فكرة الحل)


<<< يتبع >>>

تعليق 23
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

السؤال الرابع : برهن أن :



الحل : أولاً لنثبت العلاقات الأربع التالية ، والتي ستساعدنا في الحل :

( العدد n هنا هو عدد حقيقي أكبر من أو يساوي 1 )

العلاقة الأولى :



وهذه العبارة الأخيرة هي عبارة صحيحة لكل عدد موجب n وبالتالي العلاقة (1) صحيحة .

العلاقة الثانية :



وهذه العبارة الأخيرة هي عبارة صحيحة لكل عدد موجب n وبالتالي العلاقة (2) صحيحة .

العلاقة الثالثة :






العلاقة الرابعة :



الآن لنثبت بالاستقراء الرياضي أن



لكل عدد صحيح موجب n .

الخطوة الأساسية ، عندما n=1 :



(ملاحظة: للانتقال من السطر الأول للثاني، فقط نضرب في )

الآن لنفترض أن العلاقة متحققة لعدد موجب صحيح n أكبر من أو يساوي 1، أي لنفترض أن :



ولنثبت عندها أن العلاقة متحققة للعدد n+1 :



(ملاحظة: للانتقال من السطر قبل الأخير للسطر الأخير استخدم العلاقتين (1) و (2) )

وبالتالي فالعلاقة متحققة لكل عدد موجب صحيح n .

الآن ضع n=48 :



(ملاحظة: للانتقال من السطر الأول للسطر الثاني استخدم العلاقتين (3) و (4) )

وهو المطلوب إثباته.


ملاحظة: لاحظ أننا في الواقع أثبتنا أن



وهي علاقة أقوى من التي في السؤال .



<<< يتبع >>>

تعليق 24
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

السؤال الخامس : قسم مستطيل طوله n وعرضه m إلى مربعات صغيرة طول ضلع كل منها 1 . إذا رسم قطر في المستطيل فكم مربعًا صغيراً سيقطع هذا القطر؟



(على سبيل المثال ، القطر في المستطيل المرسوم يقطع 8 مربعات)

(ملاحظة : في الحل سنستخدم الدالة وهي تعني أقل عدد صحيح أكبر من أو يساوي x ، والدالة وتعني أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي x ، على سبيل المثال و )

الحل: لنرسم مستطيلاً
طوله n وعرضه m ونقسمه إلى مربعات صغيرة طول ضلع كل منها 1 ولنرسم القطر:





لاحظ أننا وضعنا ثلاث نقاط (...) لتدلل على عمومية n و m وحتى لا تكون حالة خاصة.

الآن لنعرف النقاط على أنها نقاط تقاطع القطر مع كل خط عرضي (وهذا يعني بالضرورة أن عددها n نقطة) ولنعرف النقاط على أنها نقاط تقاطع المساقط العمودية على القاعدة السفلية للمستطيل والمنطلقة من النقاط
(وهذا يعني بالضرورة أن عددها n نقطة ، لكل نقطة يوجد نقطة واحدة فقط ) ، أخيراً لنعرف النقطة r على أنها رأس المستطيل في الركن السفلي الأيسر ، الشكل التالي يوضح مواضع هذه النقاط :



الآن لنضع هذا المستطيل على مستوى الإحداثيات ، بحيث تكون النقطة r هي نقطة الأصل :



الآن من الرسم يمكننا بسهولة استنتاج الإحداثيات التالية :



الآن لاحظ أن جميع المثلثات متشابهة (لأن جميعها تمتلك نفس قياسات الزوايا) ، وبالتالي النسب بين أضلاعها متساوية، وبالتالي بمقارنة المثلثات مع المثلث يمكننا بسهولة استنتاج إحداثيات النقاط ، على سبيل المثال ، لنأخذ المثلث ، بما أنه يشابه المثلث
إذن :



وبالتالي نستنتج الإحداثيات :



بصورة مشابهة ، لو أخذنا المثلث ، بما أنه يشابه
المثلث إذن :



ونستنتج الإحداثيات :



الآن واضح أنه لو أخذنا المثلث حيث
، بما أنه يشابه المثلث إذن :



ونستنتج الإحداثيات :



الآن لنعد المربعات التي يقطعها القطر . لدينا n صف ، لنعد عدد المربعات التي يقطعها القطر في كل صف . على سبيل المثال ، عدد المربعات التي يقطعها القطر في الصف الأول هو عبارة عن أصغر عدد صحيح أكبر من أو يساوي الإحداثي السيني للنقطة ، ويساوي:



وكذلك يمكننا استنتاج أن عدد المربعات التي يقطعها القطر في الصف الثاني هو عبارة عن
أصغر عدد صحيح أكبر من أو يساوي الإحداثي السيني للنقطة منقوصًا منه أكبر عدد صحيح أصغر من الإحداثي السيني للنقطة ، ويساوي:



أيضًا نستنتج أن
عدد المربعات التي يقطعها القطر في الصف الثالث هو عبارة عن أصغر عدد صحيح أكبر من أو يساوي الإحداثي السيني للنقطة منقوصًا منه أكبر عدد صحيح أصغر من الإحداثي السيني للنقطة ، ويساوي:



وواضح أن
عدد المربعات التي يقطعها القطر في الصف رقم i هو عبارة عن أصغر عدد صحيح أكبر من أو يساوي الإحداثي السيني للنقطة منقوصًا منه أكبر عدد صحيح أصغر من الإحداثي السيني للنقطة ، ويساوي:



إلى أن نصل إلى أن
عدد المربعات التي يقطعها القطر في الصف رقم n-1 هو عبارة عن أصغر عدد صحيح أكبر من أو يساوي الإحداثي السيني للنقطة منقوصًا منه أكبر عدد صحيح أصغر من الإحداثي السيني للنقطة ، ويساوي:



وأخيراً ،
عدد المربعات التي يقطعها القطر في الصف رقم n هو عبارة عن أصغر عدد صحيح أكبر من أو يساوي الإحداثي السيني للنقطة منقوصًا منه أكبر عدد صحيح أصغر من الإحداثي السيني للنقطة ، ويساوي:



الآن ليكن عدد جميع المربعات التي يقطعها القطر (العدد الذي نبحث عنه) هو S ، إذن :










<< يتبع تكملة حل السؤال في المشاركة التالية>>

تعليق 25
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

<< تكملة حل السؤال الخامس >>

الآن لاحظ أن عندما يكون x عدد صحيح ، وبالتالي عندما يكون x عدد صحيح.

بينما عندما يكون x عدد غير صحيح ، وبالتالي عندما يكون x عدد غير صحيح.

الآن يهمنا عدد الأعداد i حيث والتي تجعل عدد غير صحيح ، ولإيجاد هذا العدد ، افترض أن k هو عدد الأعداد i التي تجعل عدد صحيح وبالتالي سيكون عدد الأعداد i حيث والتي تجعل عدد غير صحيح هو وبالتالي :



الآن لنجد العدد k . ليكن ، وبالتالي يوجد عددين صحيحين بحيث وكذلك ، الآن حتى يكون عدد صحيح ، يجب أن يقسم n العدد ، وهذا يعني أن يقسم ، وهذا يعني أن يقسم ، ولكن وبالتالي يجب أن يقسم العدد ، ولكن



وهذا يعني أن



وبالتالي هناك بالضبط قيمة للعدد بحيث يجعلون العدد يقسم العدد ، وهي الأعداد


الآن هذا يعني أن ، وبالتالي :



وبالتالي :




<< انتهى حل السؤال الخامس ، يتبع حل السؤال السادس والأخير >>

تعليق 26
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

السؤال السادس : في شبه المنحرف المبين في الرسم :



أثبت أن



لأي نقطة H على الضلع AD .




الحل : لتكن النقطة H على بعد x من النقطة A ، حيث أن . وليكن





وبالتالي نريد أن نثبت أن



الآن من نظرية فيثاغورس على المثلثين HAB و HCD نجد أن :



وبالتالي لدينا



إذن نحن نريد أن نثبت أنه لكل
سيكون :



وسنثبت ذلك باستعمال علاقة أبي كامل المصري :



وباستعمال العلاقة التالية لجميع الأعداد الحقيقية الموجبة a,b :



كالتالي :



(ملاحظة: في السطر الرابع ، إذا كان المقدار سالبًا فالمتباينة متحققة دائمًا ، أما لو كان موجباً فيمكننا التربيع وإكمال الحل كما هو موضح. "ويمكن إثبات أنه في الحقيقة موجب لكل بسهولة ")

وهذه المتباينة الأخيرة متحققة دائماً وبالتالي فالمتباينة



متحققة دائماً ، وبالتالي فالمتباينة



متحققة دائماً . وهو المطلوب إثباته.



<< تم بحمد الله >>


تعليق 27
Badrghamdi عضو سوبر
www.yzeeed.com

ما قصرت يا وائل ، حلول إبداعية كما عودتنا .. وبإذن الله لي عودة

توقيع
تعليق 28
LaYou عبدالله
www.yzeeed.com

وش ذا المسائل يبو , المسألة الوحدة خطوات حلها ترم كامل @[email protected]
بالنسبة للسؤال الخامس , انا وقفت عند هالمرحلة




لاحظ قبل الأخيرة , كيف حللتها بهالطريقة ؟! أنا نشب لي موجب ستة , مسبب مشكلة ,
حاولت أحللها بالـgrouping لكن ما نفع برضو , استعملت الجذر العام ما ضبط معي بعد
ياليت تشرحها لو تكرمت , مو لازم تفصل وتعب حالك , لأني حال مسائل كثير ع التحليل , بس هالمسألة مدري كيف ياخي , يعني وش الطريقة الي استعملتها لأني حاولت أخذ عامل مشترك برضو ما نفع ,

تعليق 29
waelalghamdi مشرف سابق
www.yzeeed.com

أهلاً بك يا LaYou ...

بالنسبة لطول الحلول، أنا تعمدت في معظم الأحيان إني أفصل بالتفصيل الممل حتى توصل المعلومة ... وعموماً هذي هي أنواع الحلول اللي ممكن تتوقعها في زي هذي المسابقات ...

وللمعادلة

س^4 - 6 س^2 - س + 6

بالطريقة التقليدية ، نبحث عن الحلول السهلة الممكنة وهي هنا : 1 ، -1 ، 2 ، -2 ، 3 ، -3 ، 6 ، -6

تقولي من فين جبت الأعداد هذي؟ أقولك إنها عبارة عن قواسم العدد 6 \ 1 = 6 ، والستة جبناها من الحد الثابت والواحد جبناه من الحد الأول ...

يعني مثلاً لو كانت عندك المعادلة

أ س^3 + ب س^2 + ج س + د

فأول شيء احسب العدد ( د \ أ ) وبعدين طلع قواسمه وجرب تعوضها في المعادلة اللي عندك وشوف لو كانت حلول أو لأ ...

مثلاً :

2س^3 - 12س^2 + 22 س - 12

نحسب د\أ واللي هوا -12\2 = -6 ، الآن قواسمه هي الأعداد 1 ، -1 ، 2 ، -2 ، 3 ، -3 ، 6 ، -6 ولو جربتها تلاقي إن الأعداد 1 ، 2 ، 3 تحقق المطلوب ...

-------

ملاحظة ثانية ، لاحظ أن معاملات المعادلة

س^4 - 6 س^2 - س + 6

مجموعها هو 1 - 6 - 1 + 6 = 0 وفي هذي الحالة راح يكون العدد 1 صفر للمعادلة ، أي أن س-1 تقسم المعادلة

وهذي النتيجة عامة ، يعني لو عندك المعادلة :



بحيث أن



فإن العدد 1 يمثل جذراً للمعادلة


تعليق 30
بندر الثبيتي عضو متألق
www.yzeeed.com

جزاك الله الف خير

توقيع
لا يوجد رجل فاشل ولكن يوجد رجل بدأ من القاع وبقى فيه
تعليق 31
طلال عمران عضو متميز
www.yzeeed.com

مشكور يا اخ

تعليق 32
mdreem عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

لا عدمنا إبداعك
سيد وائل
==============
بودي تنزل أسئلة المرحلة الأولى

تعليق 33
the.best عضو متألق
www.yzeeed.com

يعطيك العافية

وياليت لو كانت الحلول بالعربي

توقيع
الـلـهـم ارزقـنـي لـذة الإيـمـان
------------------------------------و
--------------------------------------الــعــلــم
تعليق 34
قديمك نديمك عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

ابغا حقت اول وثاني

تعليق 35
سمقراط عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

أخي وائل بالنسبة للسؤال الثاني من الأولمبياد الرابع كيف صار

لأني جربت بعض الأعداد و لا صارت تحقق ما قلته

تعليق 36
الفرعون الذهبي عضو متميز
www.yzeeed.com

جزاك الله خير وزوجك من الحور العين مايرضيك

تعليق 37
mohd123 عضو متميز
www.yzeeed.com

لو سمحت حل الاختبار الخامس

Bandidas -أنتَ أقربَ لِي من دّمِ الورِيد- غٌفرانَكْ,ربيْ =)
هذه الرسالة حذفت بواسطة Bandidas.
تعليق 38
mostafa3000 عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

ماشاء الله

تعليق 39
amzilfree عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

أرجوكم الحل

عمل
x^8+x+1

تعليق 40
amzilfree عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

تعميل اخر وسامحونا على الإزعاج

x^10+x^5+1

تعليق 41
amzilfree عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

وجوزيتم خيرا على تألقكم

توقيع
[blur]
[caps]لا تغرنك الدنيا وزينتها وانظر إلى فعلها في الأهل و الوطن
وانظر إلى من حبا الدنيا وزينها هل راح منها بغير اللحد و الكفن[/caps]
[/blur]
تعليق 42
كوكب الأمال عضو سوبر
www.yzeeed.com

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته......

جزاك الله خير.....والله دورت في كل المواقع إلي أعرفها ما لقيت تفصيل مثلك...جزاك الله خير...

ياليت حل الإختبار للألومبياد الخامس

تعليق 43
داوود أرامكو CDPNE
www.yzeeed.com

شكرا على هذا الجهد الجبار.
لقد ترشحت للمرحلة الثانية لأولمبياد وهو في 22_5_1431هـ وان في الصف ثاني ثانوي.
فهل عندك نصائح ومواضيع في المتندى أو كتب أركز عليها قبل الدخول إلى الاختبار

و لكن هل هذه أسئلة التي جزاك الله خير التي حلت للمرحلة الثانية لجميع صفوف الثانوي.
لأني لم نصل في صف ثاني ثانوي الآن إلى التوافيق والتباديل و الاستقراء والاحتمالات ولا ايضا اخذنا التكامل والتفاضل.
واظن ان الحل يكون بمعرفة هذه المواضيع وانا شخصيا لم أفهم الحلول لعدم علمي بهذه المواضيع!؟
شكرا مرة اخرى على مجهودك.

تعليق 44
خوارزمي الكبير عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

الله لايهينكم دنيا وآخرة

تعليق 45
أحمد سسس عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

أستاذي وائل الغامدي - حفظه الله -
نرجو منك أن تكون الحلول باللغة العربية لتعم الفائدة الطلاب الذين يدرسون بالعربية
شكرًا لجهوداتك العظيمة يا محرك الرياضيات

تعليق 46
توريس502 عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

انا ابغا حللللول الصف السادس والفصل الثاني

تعليق 47
توريس502 عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

ارجو الردود خاص صفحة 63 الصف السادس الفصل الثاني
Fatal error: Call to undefined function gregoriantojd() in /home/aboyzed/public_html/vb/massy/ArDate.class.php on line 261

Fatal error: Call to undefined function gregoriantojd() in /home/aboyzed/public_html/vb/massy/ArDate.class.php on line 261

تعليق 48
توريس502 عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

ارجو الردو هي الواجب بكرا ارجو السرعة

ارجو الرد والاسراع

تعليق 49
nuha1423 عضو متألق
www.yzeeed.com

رائع

ماشاء الله


الله يعطيك العافية على هذا المجهود

جزاك الله خيراً

تعليق 50
عبدالله-الرياض يالِعۉاذلِ ۉشتبۉن.!
www.yzeeed.com

يعطيك الف عافيه ..


ولك مني جزيل الشكر ..

شكرآآ

توقيع
يآرب توفيقـــــــــــــك ف القدرآآآت

يآرب وفقني ..
يآرب وفقني ..
يآرب وفقني ..
يآرب وفقني ..
يآرب وفقني ..
تعليق 51
shaiban عضو منا وفينا
www.yzeeed.com
تعليق 52
جواهر الدوسري عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

الله يجزيك الخير ويوفقك دنيا واخره

تعليق 53
Sukaina عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

أخوي وائل .. والله مررة مشكور على تحديثك للأسئلة و حلها ، كسبت فينا أجر .. إن شاء الله

انا مشاركة لأول مرة بالأولمبياد ، و أتمنى دعوتك لي .. و إن شاء الله أتفاعل معكم أكثر بالموضوع بس لو أحل اللي عندي شوي ، و أكمل معكم بالمشوار لين المسابقة ..

سام ..

تعليق 54
mosemos عضو متميز
www.yzeeed.com
تعليق 55
حمدي صبحي نخبة التطوير
www.yzeeed.com

ما شاء الله جعله الله في ميزان حسناتك

تعليق 56
أحمد سسس عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

لا يكتمل الموضوع الجيد وخصوصًا العلمي إلا بتعليق الأعضاء المهتمين
أرى خطأً في حل السؤال الثالث من أسئلة 2006

تعليق 57
حمدي صبحي نخبة التطوير
www.yzeeed.com

ما شاء الله
جعله الله في موازبن حسناتكم

توقيع
سبحانك اللهم وبحمدك أستغفرك وأتوب إليك
تعليق 58
aman1 عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

احسنتم و موفقين لكل خير

تعليق 59
ابوجنيدى عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Transistor اقتباس :
الله يرفع قدرك مشرفنا ،، ويبارك فيك وفي علمك : )


أقول وائل أبيك في كلمة راس

صراحة نظرية العدد وشغل البواقي وهالهرج عندي مثل الطلاسم : ( ،، فلو تدلني على اسم كتاب واضح تكسب فيني أجر ..

إلا بالمناسبة الاولمبياد ذي مو لطلاب الثانوي والثانوي ما يدرسون نظرية العدد فليش تدخل معهم ؟
ممممممممممممششششششششششششش شششششكككككككككككككككككووو ووووووووووررررررررررررررر ررر

تعليق 60
منال الفرا عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

جعلها الله في ميزان حسناتك

تعليق 61
الملاح الكبير مشرف فخري
www.yzeeed.com

أنا الصراحة لأول مرة أشارك في هذا الاولمبياد وإن شاء الله تكون آخر مرة والله شرح مفصل بزيادة وجيد للي أخذ أو درس مثل هذه المواضيع لكن معذرة لم أفهم ولا حرف منه.......

توقيع
أهم مواضيعي...

كما وعدتكم:
||تجربتي المتواضعة في اختبار القدرات||
http://www.yzeeed.com/vb/showthread....58#post3108358
~ مناقشة و تجميع أسئلة اختبار القدرات 1434 هـ (الفترة الأولى - طلاب) ~
http://www.yzeeed.com/vb/showthread.php?t=215255
الصفحة البديلة لتحميع القدرات في حال أغلق الموقع
http://www.facebook.com/groups/26550...if_t=group_r2j
ترقبوا مسابقة رواد القدرات (كمي - لفظي )
[flash=http://im13.gulfup.com/ZzIWp1.swf]WIDTH=350 HEIGHT=199[/flash]
تعليق 62
Math Women عضو متألق
www.yzeeed.com

جزالك الله خيراً
ولدي مشارك

وانا صعبت علي بعض الاسئلة خصوصا اني متخصصة بالمتوسط منذ 14 سنة

توقيع

كن كالنخيل عن الأحقاد مرتفعا ً
ترمى بحجر فتعطي أحسن الثمر
تعليق 63
عصمت فياض عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

شكرا على التميز

تعليق 64
بومهتدي عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

جزالك الله خيراً

تعليق 65
AHMED 2012 عضو منا وفينا
www.yzeeed.com
تعليق 66
mahmod_alhllao عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

مشكور جدا جدا على الموضوع عزيزي جعله الله في ميزان حسناتك

تعليق 67
اولمبيادي الله يوفقني في اولمبيادي
www.yzeeed.com

يعطيك العافيه بس ما فيه اولمبياد مدارس
يعني من جد ساعدوني حالتي مررره يرثى لها
يعني كيف اوفق بين المدرسه والاولمبياد شي يقهرررر ياعالم

تعليق 68
الخيرمن الله عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

جزيت خير
الخيرمن الله

تعليق 69
Jimmy Neutron 卍What Ever happen_Never back down卍
www.yzeeed.com

Up

توقيع

صعود بلا قيود
http://archive.org/details/SOoOd_
___

فصبـر جميـل
___
كلية طب جامعة مصر للعلوم والتكنولوجيا

http://ask.fm/MohammedMagdy

:::::::::::::::::::::::::::::::::
إللي عايز حاجه يبعت رسالة لقلة دخولي للمنتدى
دعواتكم لي بالتوفيق والسداد


http://www.facebook.com/Mohammed.Magdy.Arafat?fref=ts
تعليق 70
fuad.alhunaiti عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

بارك الله فيك أخي على هذا الجهد الواضح والمتميز في حل الأسئلة ولي مشاركة بسيطة في حل هذا السؤال وهي :
من المعلوم أن مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع = 360 ْ
وهناك 7 مثلثات خارجية عن الشكل السباعي
مجموع قياسات زوايا هذه المثلثات = 7×180=1260
اذا مجموع قياسات الزوايا ا+ب+ج+د+ه+ق+ر = 1260-2×360 = 1260-720 = 540

تعليق 71
شريف محمود عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

بــــــــــــــــــــارك اللله فيك

تعليق 72
محمد منار عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

احسنت وجزاك الله الف خير

تعليق 73
سكتاوية 2 عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

شكررررررررررررررررررا وجزاك الله خير

تعليق 74
البرهان السليم عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

جزيل الشكر لكم
استفدت الكثير من هذا الموضوع

تعليق 75
أبو محمد الغالي عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة transistor اقتباس :
الله يجزاك خير أخي وائل ويجعل ذلك في موازين حسناتك : )

متابعين لروائعك مشرفنا الفاضل
بارك الله فيكم وسدد الله خطاكم تقبلوا جزيل شكري

تعليق 76
يونس طالب عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

شكرا لك
استفدنا في الحقيقة

تعليق 77
براء داود يارب KFUPM
www.yzeeed.com

الله يعطيك العافية ماقصرت

تعليق 78
الشاااامخه10 عضو متميز
www.yzeeed.com

واااااااااو الله يجزاك خير أستاذي الفاضل ومثر الله من أمثالك ونفعك ونفعنا بما علمك وزادك ربي علما موضوع اكثر من رائع ومجهود جبااار فكنت متعطشه لمثل هذه المواضيع ،،،،،،،في انتظار جديدك وابداعاتك

تعليق 79
الاستاذ عبقري عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

السلام عليكم


ارجو مساعدتي بحل هذه المسألة

لنفترض ان هناك صندوق توجد به عدد 100 كره بنفس الحجم
كلها زرقاء ماعدا واحده حمراء ؟

وضعت يدك في الصندوق لتخرج كره وعيناك معطوبتان
السؤال :كم هو اقل عدد للمحاولات لاخراج الكره لتضمن حصولك على الحمراء على الاقل 70% ؟

*كل كره تخرجها تعاد الى الصندوق

تعليق 80
عادل افندى عضو سوبر
www.yzeeed.com

مششششششككككككووووووووزززز زززززززز

تعليق 81
رضا فتوح فتوح
www.yzeeed.com

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة waelalghamdi اقتباس :
[font=comic sans ms][size=5][color=bluشكرا لك هذا الجهد

ةاىتنماتنرلاغهنلامتنى

تعليق 83
سيف عماد الدين عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

[overline][overline]جزاك الله خير[/overline][/overline]

تعليق 84
mr.roger عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

الشكر الجزيل لكم علي هذا المجهود

تعليق 85
ف.ع.ص.س عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

مجهود رائع تشكرون عليه

تعليق 86
البرن عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

مشكور
في ميزان حسناتك

تعليق 87
سعودي بلاك بيري عضو سوبر
www.yzeeed.com
تعليق 88
ولاء اللحياني عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

أنا في الصف الأول ثانوي أريد المشاركة في أولمبياد الرياضيات بأس أبي نصائحكم لي

تعليق 89
محمد العرابي عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته مشكوووووور والله يعطيك الف عافيه اسمح لي ابدي اعجابي بقلمك وتميزك واسلوبك الراقي وتالقك

تعليق 90
محمود الاسطل2 عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll llllllll

تعليق 91
تسنيم 12 عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

الرجاء مساعدتي فالحل لا يظهر كاملا عندي ولا أعلم السبب أرجو مساعدتي ولكم جزيل الشكر

ماثية Lifelong learner
هذه الرسالة حذفت بواسطة ماثية.
تعليق 92
نرمين فتوح عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

بارك الله فيكم وجزاكم الله خيراً على مجهودكم هذا

تعليق 93
باجابر عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

بارك الله في جعودكم

تعليق 94
tahaa عضو منا وفينا
www.yzeeed.com

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة waelalghamdi اقتباس :
بسم الله الرحمن الرحيم

نظرًا إلى قرب موعد امتحان أولمبياد الرياضيات الخامس بجامعة البترول والمعادن، ونظرًا إلى أن بعض أسئلة الأولمبياد للسنوات الفائتة غير مجابة لا في موقع المسابقة ولا في أي من المنتديات، سأضع بين يديكم -إن شاء الله- ما أستطيع إجابته من أسئلة السنوات الفائتة للفائدة والمناقشة.

كخطوة أولى، سأضع إجابات أسئلة المرحلة الثانية لأنها أكثر صعوبة، وإن توفر الوقت الكافي فسأحاول وضع حلول المرحلة الأولى -إن شاء الله-


تحياتي ،،،
مشكووووووووووووووووووووور رررررررررررررر

إضافة رد
أدوات الموضوع
انواع عرض الموضوع

almrsal
Powered by vBulletin® Version 3.8.11
Copyright ©2000 - 2021, vBulletin Solutions Inc.